Η OpenAI ανακοίνωσε ένα αποτέλεσμα που, εφόσον επιβεβαιωθεί από τη διεθνή μαθηματική κοινότητα, μπορεί να αποτελέσει ορόσημο τόσο για τα μαθηματικά όσο και για την Τεχνητή Νοημοσύνη: ένα εσωτερικό της μοντέλο παρήγαγε απόδειξη για το περίφημο πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας των εξισώσεων Navier–Stokes, ένα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας.

Η εταιρεία δημοσιοποίησε στις 8 Σεπτεμβρίου τόσο τη μαθηματική απόδειξη όσο και την τυπική διατύπωσή της στη γλώσσα Lean. Η OpenAI υποστηρίζει ότι το αποτέλεσμα δείχνει πως οι εξισώσεις Navier–Stokes μπορούν, υπό συγκεκριμένες συνθήκες, να αναπτύξουν ανωμαλία, - ή singularity – σε πεπερασμένο χρόνο.

Το πρόβλημα του ενός εκατομμυρίου δολαρίων

Οι εξισώσεις Navier–Stokes περιγράφουν την κίνηση των ρευστών και βρίσκονται πίσω από εφαρμογές που εκτείνονται από τον σχεδιασμό αεροσκαφών και τη μετεωρολογία μέχρι τη μελέτη της ροής του αίματος.

Το μεγάλο μαθηματικό ερώτημα είναι εάν ένα τρισδιάστατο ασυμπίεστο ρευστό που ξεκινά από ομαλές αρχικές συνθήκες μπορεί να οδηγηθεί σε «singularity»: ένα σημείο όπου οι ταχύτητες που προβλέπουν οι εξισώσεις αυξάνονται χωρίς όριο μέσα σε πεπερασμένο χρόνο.

Το Clay Mathematics Institute συμπεριέλαβε το ερώτημα στα επτά Millennium Prize Problems το 2000, προσφέροντας έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για αποδεκτή λύση. Μέχρι σήμερα, από τα επτά προβλήματα μόνο η Εικασία του Poincaré έχει αναγνωριστεί ως λυμένη.

Η OpenAI υποστηρίζει τώρα ότι το σύστημά της απέδειξε ακριβώς την περίπτωση της κατάρρευσης της ομαλότητας. Σύμφωνα με την ανακοίνωση, ένα αρχικά ομαλό ρευστό μπορεί, με την εφαρμογή ομαλής εξωτερικής δύναμης, να σχηματίσει singularity σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ η συνολική του ενέργεια παραμένει πεπερασμένη.

Μια δίνη σαν «μακαρόνι»

Η εικόνα που χρησιμοποιεί η ίδια η OpenAI για να περιγράψει το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακή.

Η κατασκευή της απόδειξης αφορά μια δίνη που περιστρέφεται και κινείται προς τα μέσα, ενώ ταυτόχρονα επιμηκύνεται. Η κεντρική περιοχή γίνεται συνεχώς μικρότερη και η ταχύτητα αυξάνεται δραματικά – σαν ένα κομμάτι μακαρόνι που τεντώνεται όλο και περισσότερο.

Το κρίσιμο μαθηματικό στοιχείο είναι ότι η επιτάχυνση, οι βαθμίδες πίεσης, η μεταφορά ορμής και το ιξώδες γίνονται πολύ μεγάλα αλλά εξισορροπούνται με εξαιρετικά συγκεκριμένο τρόπο. Έτσι η εξωτερική δύναμη παραμένει ομαλή, την ώρα που η ταχύτητα του ρευστού τείνει να γίνει απεριόριστη.

Η «στρατιά» των AI agents

Ίσως ακόμη πιο εντυπωσιακός από την ίδια την απόδειξη είναι ο τρόπος με τον οποίο, σύμφωνα με την OpenAI, προέκυψε.

Από τις 28 Αυγούστου η εταιρεία εκπαίδευε ένα νέο εσωτερικό μοντέλο με πολύ υψηλές επιδόσεις στα μαθηματικά. Η OpenAI αναφέρει ότι το συγκεκριμένο σύστημα είναι σημαντικά ισχυρότερο από το GPT-6 Astra και ότι η εκπαίδευσή του συνεχίζεται ακόμη.

Την 1η Σεπτεμβρίου, όταν οι ερευνητές της εταιρείας πληροφορήθηκαν φήμες ότι είχε σημειωθεί πρόοδος σε δύο Millennium Problems, αποφάσισαν να δοκιμάσουν το νέο μοντέλο στα ανοικτά προβλήματα.

Δεν επρόκειτο όμως για έναν AI που καθόταν μόνος του μπροστά σε ένα μαθηματικό πρόβλημα. Η OpenAI δημιούργησε ένα σύστημα από ομάδες αυτόνομων agents, οι οποίοι μπορούσαν να επικοινωνούν μεταξύ τους, να εκτελούν κώδικα και να συμβουλεύονται αποθηκευμένη έκδοση του διαδικτύου.

Από τους Euler στους 10.000 agents

Το πρώτο σημαντικό βήμα έγινε σε ένα συγγενικό και θεωρητικά ευκολότερο πρόβλημα: τις εξισώσεις Euler, ουσιαστικά το όριο των Navier–Stokes όταν αφαιρεθεί το ιξώδες.

Σύμφωνα με την OpenAI, σχεδόν 100 agents εργάστηκαν για περίπου 50 ώρες και παρήγαγαν αποτέλεσμα για το πρόβλημα regularity των Euler χωρίς εξωτερική δύναμη.

Η επιτυχία αυτή έκανε τους ερευνητές να συγκεντρώσουν σχεδόν όλη την υπολογιστική προσπάθεια στο Navier–Stokes.

Η ομάδα που τελικά οδήγησε στη λύση περιλάμβανε περίπου 10.000 ταυτόχρονα συνεργαζόμενους AI agents. Διαφορετικές ομάδες δοκίμαζαν διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις και στη συνέχεια το Codex χρησιμοποιήθηκε για να συγκεντρώνει και να συνδυάζει τα πιο χρήσιμα ενδιάμεσα αποτελέσματα.

Η διαδικασία ολοκληρώθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου, περίπου 88 ώρες μετά την εκκίνηση των πρώτων agents.

Ακολούθησαν ακόμη 17 ώρες για την τυπική διατύπωση και επαλήθευση της απόδειξης στη Lean, αυτή τη φορά με το GPT-6 Astra.

130 δισεκατομμύρια tokens για ένα πρόβλημα

Η κλίμακα του εγχειρήματος αποκαλύπτεται από τα στοιχεία που έδωσε η εταιρεία.

Μόνο για το Navier–Stokes οι agents αντάλλαξαν περίπου 2,7 εκατομμύρια μηνύματα και παρήγαγαν περίπου 130 δισεκατομμύρια output tokens.

Στο σύνολο των μαθηματικών προβλημάτων που δοκιμάστηκαν, ο αριθμός έφτασε τα 4,9 εκατομμύρια μηνύματα και περίπου 300 δισεκατομμύρια output tokens.

Η OpenAI δεν ανακοίνωσε κόστος 15 εκατ. δολαρίων. Στελέχη της τοποθέτησαν το πραγματικό υπολογιστικό κόστος στα «εκατομμύρια δολάρια». Εκτίμηση περίπου 15 εκατ. δολαρίων προκύπτει εάν τα 300 δισεκατομμύρια output tokens αποτιμηθούν με αντίστοιχες δημόσιες τιμές API, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η εταιρεία κατέβαλε πράγματι αυτό το ποσό.

Η παράλληλη κούρσα και η διαμάχη

Πίσω από την επιστημονική ανακοίνωση βρίσκεται όμως και μια έντονη διαμάχη για την προτεραιότητα της έρευνας.

Οι Levent Alpöge της Anthropic και Tristan Buckmaster του New York University εργάζονταν παράλληλα σε συγγενικό πρόβλημα των εξισώσεων Euler. Η OpenAI παραδέχεται ότι η δική της προσπάθεια άρχισε αφού πληροφορήθηκε φήμες για σημαντική πρόοδο, χωρίς τότε να γνωρίζει ακριβώς ποιο ήταν το αποτέλεσμα.

Ο Buckmaster έθεσε δημόσια ερωτήματα για το κατά πόσο η OpenAI μπορούσε να είχε επωφεληθεί από τη χρήση του Codex από την άλλη ερευνητική ομάδα και διατύπωσε ισχυρισμούς σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο συζητήθηκε η απόδοση της επιστημονικής αναγνώρισης. Η OpenAI αρνείται ότι οι ερευνητές ή οι agents της είχαν πρόσβαση στην εργασία ή στα συγκεκριμένα prompts πριν αυτά δημοσιοποιηθούν.

Υπάρχει, ωστόσο, μία σημαντική παραδοχή. Η εταιρεία αναφέρει ότι, αν και το θεωρεί απίθανο, δεν μπορεί να αποκλείσει ότι ανωνυμοποιημένα δεδομένα που προήλθαν από τη χρήση των προϊόντων της από τους ερευνητές συνέβαλαν γενικότερα στη βελτίωση των μοντέλων της.

Η OpenAI αναγνωρίζει παράλληλα την προτεραιότητα των Alpöge και Buckmaster στο δικό τους αποτέλεσμα για τις εξισώσεις Euler και υποστηρίζει ότι οι δύο μαθηματικές προσεγγίσεις διαφέρουν ουσιωδώς.

Έχει πράγματι λυθεί το Navier–Stokes;

Εδώ βρίσκεται η σημαντικότερη επιφύλαξη.

Η ανακοίνωση της OpenAI δεν σημαίνει ότι το πρόβλημα θεωρείται ήδη επισήμως λυμένο από τη διεθνή μαθηματική κοινότητα ή από το Clay Mathematics Institute. Πρόκειται για μια εξαιρετικά πρόσφατη απόδειξη εκατοντάδων σελίδων, η οποία πρέπει να εξεταστεί διεξοδικά από ανεξάρτητους ειδικούς.

Η ύπαρξη τυπικής απόδειξης σε Lean είναι ιδιαίτερα σημαντική, επειδή επιτρέπει μηχανικό έλεγχο των λογικών βημάτων. Δεν υποκαθιστά όμως αυτομάτως τη διαδικασία ανεξάρτητης επιστημονικής αξιολόγησης.

Μέχρι αυτή να ολοκληρωθεί, η ακριβέστερη διατύπωση είναι ότι η OpenAI ανακοίνωσε πως βρήκε λύση στο Navier–Stokes, όχι ότι η επίλυση έχει ήδη αναγνωριστεί οριστικά.

Η ίδια η εταιρεία δηλώνει, πάντως, ότι δεν σκοπεύει να διεκδικήσει το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων.

Το πραγματικά μεγάλο μήνυμα

Ακόμη και αν αφήσει κανείς προσωρινά στην άκρη το ερώτημα της τελικής αποδοχής της απόδειξης, το πείραμα δείχνει κάτι ίσως εξίσου σημαντικό.

Η Τεχνητή Νοημοσύνη δεν χρησιμοποιήθηκε απλώς ως ένας ισχυρός βοηθός που απαντά σε ερωτήσεις ενός μαθηματικού. Χιλιάδες instances ενός μοντέλου οργανώθηκαν σε κάτι που θυμίζει ολόκληρο ερευνητικό οργανισμό: διαφορετικές ομάδες δοκίμαζαν ανεξάρτητες υποθέσεις, αντάλλασσαν αποτελέσματα, απέρριπταν αδιέξοδα και συνδύαζαν τις καλύτερες ιδέες.

Εάν το αποτέλεσμα επιβεβαιωθεί, το Navier–Stokes μπορεί επομένως να μείνει στην ιστορία όχι μόνο ως ένα από τα μεγαλύτερα μαθηματικά προβλήματα που λύθηκαν, αλλά και ως η στιγμή κατά την οποία έγινε ορατό ένα εντελώς διαφορετικό μοντέλο επιστημονικής έρευνας: όχι ένας άνθρωπος απέναντι σε έναν πίνακα, αλλά χιλιάδες τεχνητοί ερευνητές να εργάζονται παράλληλα πάνω στο ίδιο πρόβλημα.